问题
先从一个问题引入：假如一个湖里有4种鱼，而我总共钓上来了10条鱼，请问鱼的组合共有多少种可能？（注意这个问题里某种鱼的条数可以为0）
更一般地，我们可以假设有r种鱼，且一共钓到了n条，那可能的结果数就是满足：
$x_1+x_2+⋯+x_r=n$
的非负整数向量$(x_1,x_2,⋯,x_r)$的个数。生活中经常会碰到类似的问题，所以就称呼为“不定方程非负整数解个数”问题。
解法
要计算非负整数向量的个数，我们可以先考虑正整数向量$(x_1,x_2,⋯,x_r)$的个数。我们假设有n个连续的数值1排成一行：
$111⋯11$
注意，总共有n-1个间隔，我们需要将r-1个加号放到这些间隔中。例如，如果n=8,r=3，那么选择
$1+1111+111$
对应解$x_1=1,x_2=4,x_3=3$。
结论1
共有$C^{r−1}_{n−1}$个不同的正整数向量$(x_1,x_2,⋯,x_r)$
满足
$x_1+x_2+⋯+x_r = n , x_i>0,i=1,⋯,r$
为了得到非负整数解（而不是正整数解）的个数，注意，$x_1+x_2+⋯+x_r=n$
的非负整数解个数与$y_1+y_2+⋯+y_r=n+r$的正整数解个数是相同的
令$y_i=x_i+1,i=1,⋯,r$
因此得到结论2
结论2
共有$C^{r−1}_{n+r−1}$个不同的非负整数向量$(x_1,x_2,⋯,x_r)$满足 $x_1+x_2+⋯+x_r=n$
所以回到最开始的问题，总共有$C^3_{10+4−1} = C^3_13 = 286$种可能的情况