向量表示和向量运算

线性代数的基本对象是向量，量子计算的基本单位量子比特，使用向量来描述。

向量表示，使用一个列矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
z_1\
\vdots\
z_n\
\end{bmatrix}
$$

加法运算：

$$
\begin{bmatrix}
z_1\
\vdots\
z_n\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
z_1^{‘}\
\vdots\
z_n^{‘}\
\end{bmatrix}
\equiv
\begin{bmatrix}
z_1+z_1^{‘}\
\vdots\
z_n+z_n^{‘}\
\end{bmatrix}
$$

标量乘：

$$
z
\begin{bmatrix}
z_1\
\vdots\
z_n\
\end{bmatrix}
\equiv
\begin{bmatrix}
zz_1\
\vdots\
zz_n\
\end{bmatrix}
$$

狄拉克(Dirac)符号：
$$
|\psi\rangle
$$

符号

在量子理论里，需要适应并使用狄拉克符号来描述抽象表示

名称	符号
共轭复数	$z^*$
态，向量，Ket	$\|\psi\rangle$
对偶向量	$\langle\varphi\|$
内积(Bracket)	$\langle\varphi\|\psi\rangle$
张量积	$\|\varphi\rangle\bigotimes\|\psi\rangle\equiv\|\varphi\rangle\|\psi\rangle$
复数共轭矩阵	$A^*$
矩阵的转置	$A^T$
矩阵的厄米共轭	$A^†=(A^T)^*$
内积	$\langle\varphi\|A\|\psi\rangle$

特殊符号表

基

对于一组向量$|0\rangle,\dots,|v_n\rangle$张成(Spanning)的$C^n$:
$$|v\rangle=\sum_{i}x_i|u_i\rangle\equiv
\begin{bmatrix}
x_1\
x_2\
\vdots\
x_n\
\end{bmatrix}
$$
这个集$|0\rangle,\dots,|v_n\rangle$就作为$C^n$的基(Basis)

内积

在$C^n$上的内积表示为：
$$
\left((a_1,\dots,a_n),(b_1,\dots,b_n)\right)=\sum_{i=1}^{n}a_i^b_i
$$
狄拉克符号表示为：
$$
\langle\omega|\nu\rangle\equiv(|\omega\rangle,|\nu\rangle)
$$
*结果是一个值**
$$
希尔伯特空间 = 内积空间
$$

线性算子和矩阵

正交

我们称两个向量$|\nu\rangle,|\omega\rangle$正交：
如果满足：
$$
\langle\omega|\nu\rangle = 0
$$
一个正交集里的向量$|i\rangle$满足：
$$
\langle j|i\rangle=\delta_{ij}\quad \delta_{ij}=
\begin{cases}
0 , i \not= j \
1 , i = j \
\end{cases}
$$

完备性

若向量集$|i\rangle$来源于$C^n$里的一组正交基$\langle j|i\rangle = \delta_{ij}$那么，完备性满足：
$$
\sum_{i=1}^{n} | i \rangle\langle i| = I
$$

外积

外积$|\varphi\rangle\langle\phi|$是一个线性算子：
$$
|\varphi\rangle\langle\psi|\left(|\psi^{‘}\rangle\right) = |\varphi\rangle\langle\psi|\psi^{‘} = \langle\psi|\psi^{‘}|\varphi\rangle
$$
结果是一个矩阵

线性算子

泡利矩阵

$$
\sigma_0 \equiv I \equiv \begin{pmatrix}
1&0\
0&1\
\end{pmatrix}\
\sigma_1 \equiv \sigma_x \equiv X \equiv \begin{pmatrix}
0&1\
1&0\
\end{pmatrix}\
\sigma_2 \equiv \sigma_y \equiv Y \equiv \begin{pmatrix}
0&-i\
i&0\
\end{pmatrix}\
\sigma_3 \equiv \sigma_z \equiv Z \equiv \begin{pmatrix}
1&0\
0&-1\
\end{pmatrix}\
$$

厄米算子

投影算子

一个投影算子$P:C^n \rightarrow C^m, m<n$
表示为：
$$
P = \sum_{i=1}^m |i\rangle\langle i|
$$
投影算子满足：
$$
P^† = P
$$

正规算子

一个算子A被称为正规(Normal)的，如果满足：
$$
A^†A = AA^†
$$
注意：如果一个算子是正规的，那么它一定是可对角化(Diagonalizable)的。因此，厄米算子是正规算子。

酉算子

一个算子（矩阵）U被称为酉正(Unitary)的，如果满足：
$$
U^†U = UU^† = I
$$

特征值和特征向量

谱分解(Spectral Decomposition)

对于一个正规算子，可以将其写成谱分解的形式：
$$
A = \sum_a a|a\rangle\langle a|
$$
回顾对角化的概念，此处一个比较重要的概念是，如果一个算子满足正规算子的条件，则该算子具备谱分解，必定可以对角化。

当我们需要对一个算子（矩阵）进行函数运算，比如给定算子A，需要求解f(A)，所用的方法，就是将A谱分解，求解表示为：
$$
f(A) = \sum_a f(a)|a\rangle\langle a|
$$
同理其他的函数操作，包括求幂函数，开方等操作。

张量积与迹

张量积的理解

向量$|\nu\rangle,|\omega\rangle$在$C^n,C^m$中的张量积为：
$$
|\nu\rangle \bigotimes |\omega\rangle \equiv |\nu\rangle|\omega\rangle \equiv |\nu\omega\rangle
$$
即是$C^{n\times m}$中的向量
例：
$$
\begin{bmatrix}
\nu_1\
\nu_2\
\end{bmatrix}
\bigotimes
\begin{bmatrix}
\omega_1\
\omega_2\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\nu_1\omega_1\
\nu_1\omega_2\
\nu_2\omega_1\
\nu_2\omega_2\
\end{bmatrix}
$$
矩阵A,B的张量积定义为：
$$
A \bigotimes B
$$
操作为：
$$
A \bigotimes B ( | \nu \rangle \bigotimes | \omega \rangle ) = A | \nu \rangle \bigotimes B | \omega \rangle
$$
张量积操作规则:
$$
( A \bigotimes B )^† = A^† \bigotimes B^†
$$

张量积的矩阵表示案例

给定矩阵A,B:
$$
A = \begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}\
A_{21}&A_{22}\
\end{bmatrix}\
B = \begin{bmatrix}
B_{11}&B_{12}\
B_{21}&B_{22}\
\end{bmatrix}
$$
A,B的张量积表示为：
$$
A \bigotimes B = \begin{bmatrix}
A_{11}B&A_{12}B\
A_{21}B&A_{22}B\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
A_{11}B_{11}&A_{11}B_{12}&A_{12}B_{11}&A_{12}B_{12}\
A_{11}B_{21}&A_{11}B_{22}&A_{12}B_{21}&A_{12}B_{22}\
A_{21}B_{11}&A_{21}B_{12}&A_{22}B_{11}&A_{22}B_{12}\
A_{21}B_{21}&A_{21}B_{22}&A_{22}B_{21}&A_{22}B_{22}\
\end{bmatrix}
$$

迹

一个矩阵A的迹(Trace)定义为：
$$
tr(A) = \sum_i A_{ii}
$$
简易理解为，矩阵对角元素之和，迹的操作将矩阵映射成了一个数。

给定几个矩阵如A,B,C。迹遵循如下的一些规则：

循环性：
$$
tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)
$$
外积公式：
$$
tr(A | \psi \rangle \langle \psi | ) = \langle \psi | A | \psi \rangle
$$

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量子计算基础数学